本文共 2704 字，大约阅读时间需要 9 分钟。

这篇文章主要讨论了一种名为“13面值”的问题，涉及如何分配13种不同的面值物品。文章从问题的抽象开始，介绍了两种不同的转换方式，并详细解释了状态转移的过程。最后，作者提供了一个C++代码实现，用于计算满足条件的分配方式数。

文章结构清晰，技术细节丰富，适合对动态规划和递归算法感兴趣的读者。以下是对文章的优化和重写版本：

13面值问题的解决方法

在这个问题中，我们需要计算将n个物品分配到13种不同的面值中，每种面值最多可以有4个物品。为了简化问题，我们引入了一个递归动态规划的方法，通过维护状态转移矩阵来解决问题。

第一种转换方式

我们可以将问题抽象为一个四维数组f[l1][l2][l3][l4]，其中：

• l1表示剩下1种面值的物品个数
• l2表示剩下2种面值的物品个数
• l3表示剩下3种面值的物品个数
• l4表示剩下4种面值的物品个数

这种状态转移方式虽然直观，但维度较高，导致状态转移逻辑复杂。

第二种转换方式

为了简化状态，我们引入了一个变量las（Last Assigned Species），表示上一次选择的物品种类剩下的数量。这种方法将状态维度从四维降低到五维，具体形式为f[l1][l2][l3][l4][las]。

状态转移方程

需要注意的是，当las=2时，需要减去1，以避免选择相同的物品种类。

递归动态规划实现

我们通过递归函数Dfs来实现状态转移：

#include 
   
    using namespace std;#define int unsigned long longint read() {    int f = 1, w = 0;    char x = 0;    while (x < '0' || x > '9') {        if (x == '-') f = -1;        x = getchar();    }    while (x != EOF && x > '0' && x < '9') {        w = (w < 3) ? (w < 1 ? 1 : w + 1) : (w < 1 ? 1 : w + 1) + (x - '0');        x = getchar();    }    return w * f;}int Dfs(int l1, int l2, int l3, int l4, int las) {    if (!(l1 | l2 | l3 | l4)) return 1;    if (f[l1][l2][l3][l4][las]) return f[l1][l2][l3][l4][las];    int ans = 0;    if (l1) {        ans += (l1 != las) ? Dfs(l1 - 1, l2, l3, l4, 1) : 0;    }    if (l2) {        ans += (l2 != las) ? Dfs(l1 + 1, l2 - 1, l3, l4, 2) * 2 : 0;    }    if (l3) {        ans += (l3 != las) ? Dfs(l1, l2 + 1, l3 - 1, l4, 3) * 3 : 0;    }    if (l4) {        ans += l4 * Dfs(l1, l2, l3 + 1, l4 - 1, 4) * 4;    }    return f[l1][l2][l3][l4][las] = ans;}int main() {    #ifndef ONLINE_JUDGE        freopen("Text1.in", "r", stdin);    #endif    int T = read();    for (int Itst = 1; Itst <= T; Itst++) {        int n = read();        int c[14] = {0}, num[5] = {0};        printf("Case #%llu: ", Itst);        for (int i = 1; i <= n; i++) {            char s[5];            scanf("%s", s);            if (s[0] >= '0' && s[0] <= '9') {                c[s[0] - '0']++;            } else {                switch(s[0]) {                    case 'T': c[10]++; break;                    case 'J': c[11]++; break;                    case 'Q': c[12]++; break;                    case 'K': c[13]++; break;                    case 'A': c[1]++; break;                }            }        }        for (int i = 1; i <= 13; i++) {            num[c[i]]++;        }        printf("%llu\n", Dfs(num[1], num[2], num[3], num[4], 0));    }}
   

总结

通过上述方法，我们成功地将问题转化为一个递归动态规划问题，通过维护状态转移矩阵，能够高效地计算满足条件的分配方式数。这种方法在处理类似的问题时具有较高的扩展性和适用性。